Einstein Cilik : cara menghitung akar tanpa kalkulator

Materi Bentuk akar, masuk dalam pokok bahasan kelas x semester 1, baru digunakan untuk memandu pemahaman siswa akan konsep pangkat rasional.
Nah, sekarang saya akan menggunakan soal bentuk akar, untuk memancing kemampuan yang lebih luas, diantaranya: pemahaman bilangan, deret geometri, bentuk kuadrat, nilai mutlak, dan tentu saja manipulasi aljabar dengan pemisalan sebagai ciri khas problem solving strategy.
diakhir artikel nanti, saya harapkan pembaca akan lebih menyadari kehebatan yang ditawarkan oleh ilmu matematika dalam menyelesaikan permasalahan yang seolah-olah mustahil. Sehingga anda juga bisa membuat teman-teman tercengang dengan kemampuan seperti pesulapnya “The Master” (Joe Sandy)

(namun tentu saja tanpa trik/tipuan)
Awal kisah
Suatu kali, saya menemukan soal dari blognya Hendry “carilah nilai dari $\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\,\frac{88888...8889}{2000 buah}}$ “. (suatu bilangan yang terdiri dari angka 4 sebanyak 2000 buah, lalu angka selanjutnya 8, 1999 buah dan terakhir adalah angka 9, sehingga total digit sebanyak 4000 buah)
(Mudah-mudahan Hendry gak keberatan aku pinjem soalnya. coz relevan ama judul yang mau aku angkat)
Soal tersebut sangat menarik, karena bahkan kalkulator atau komputer, tidak mungkin bisa menghitung bilangan sebesar itu. Sehingga muncul secara alami dalam pikiran saya bahwa: pasti ada pola yang bisa kita manipulasi. Nah pencarian akan pola itulah yang menyebabkan saya bertemu dengan banyak soal-soal lain yang sejenis.
Kenyataan manis pun saya dapatkan: ternyata ada banyak cara (setidaknya 4 cara) untuk menyelesaikan soal sulit itu, mau tahu ?, simak terus ya.
Cara I: Penggunaan Deret Geometri
Tahap analisis:
Kemungkinan soal ini bisa kita manipulasi sehingga menjadi bentuk kuadrat dari bilangan bulat tertentu. Kenapa yakin begitu?, yakin sih enggak, cuma masa sih pembuat soal begitu kejam, sehingga hasilnya mengandung angka desimal dibelakang koma?

. Anggap lah itu sebagai asumsi dasar saya dalam mendekati soal ini, jikapun salah, ya tinggal ganti asumsi saja (gitu aja kok repot

). Proses itu nama kerennya adalah try and error

Materi dikit yuk ?
Misalkan ada bilangan 3527, artinya = 3000+500+20+7, atau bisa juga kita nyatakan menjadi begini: $3527=3.10^3+5.10^2+2.10+7$ .
Kembali ke soal: $\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\,\frac{88888...8889}{2000 buah}}$
Untuk gampangnya saya ubah menjadi $\sqrt{4444..4448888...888+1}$ , supaya angka 4 dan 8 banyaknya sama, jadi gak ribet ngolahnya.
Banyak total angka ada 4000 buah, angka 4 berada di posisi pertama s/d posisi ke 2000, selebihnya adalah angka 8 dan terakhir angka 9. jika kita uraikan, sama saja dengan:
$\sqrt{4( 10^{4000}+10^{3999}+...+10^{2000})+8(10^{1999}+10^{1998}+....+10+1)+1}$
atau jika disusun dari pangkat terkecil, kita peroleh:
$\sqrt{4(10^{2000}+10^{1999}+...+10^{4000})+8(1+10+..+10^{1998}+10^{1999})+1}$
(ingat ya banyaknya angka 4 dan 8 masing-masing 2000 buah)
Angka-angka dalam tanda kurung membentuk deret geometri dengan rasio =10, sehingga untuk menyederhanakannya, saya bisa menggunakan kesaktian rumus jumlah deret geometri $S_n=\frac {a(r^n-1)}{r-1}$ .
Supaya lebih sederhana, kita misalkan 2000 buah sebagai n, ayo masukan ke rumus:
= $\sqrt{4\left[\frac{10^n(10^n-1)}{10-1}\right]+8\left[\frac{1.(10^n-1)}{10-1}\right] + 1}$
= $\sqrt{\frac{4.10^{2n}-4.10^n}{9}+\frac{8.10^n-8}{9} + 1}$
samakan penyebut
= $\sqrt{\frac{4.10^2n-4.10^n + 8.10^n-8+9}{9}}$
= $\sqrt{\frac{4.10^2n+4.10^n +1}{9}}$
= $\sqrt{\frac{(2.10^n+1)^2}{9}}$
telah menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga menghasilkan:
= $|\frac{2.10^n+1}{3}|$
karena bilangan dalam tanda mutlak positif, maka tanda mutlak bisa hilang.
supaya memudahkan(masing2 suku habis dibagi oleh 3), kita manipulasi menjadi:
= $\frac{2.10^n-1+3}{3}$
= $\frac{2.10^n-1}{3}+\frac{3}{3}$
= $\frac{2(999999....999)}{3} + 1$ ……angka 9 ada 1999 buah
= $2(333333....333) + 1$ ……angka 9 ada 1999 buah
= $666666...666+ 1$ ……angka 3 ada 1999 buah
= $6666666..667$ , dengan angka 6 sebanyak 1999 buah, dan angka 7 hanya satu, sehingga total angka adalah 2000 buah
Q.E.D
Gimana, menarik kan?, sekarang kita coba pendekatan lain.
Cara II: Manipulasi Aljabar dan Pemisalan
setelah mendapatkan satu cara, saya berpikir kembali, dan bertanya “ada gak cara lain?”
kita cermati kembali soal:
$\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\frac{88888...8889}{2000 buah}}$
$\sqrt{44444...4448888...888+1}$
$\sqrt{4(1111...111)x10^{2000}+8(1111...111)+1}$
kita misalkan $\frac{1111...111}{2000 buah}= P$ , sehingga:
$\sqrt{4P.10^{2000}+8P+1}$
$\sqrt{4P.10^{2000}+8P+1}$
$\sqrt{4P.(9P+1)+8P+1}$
$\sqrt{36P^2+4P+8P+1}$
$\sqrt{36P^2+12P+1}$
$\sqrt{(6P+1)^2}$
$|6P+1|$ , karena P >0, maka tanda mutlak bisa hilang
$6(1111...111)+1= 66666...6667$
gimana, lebih singkat kan?, nah bagi yang masih remeng-remeng, silahkan simak alur proses, ketika saya mengerjakan soal dengan Cara II tadi:

$\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\frac{88888...8889}{2000 buah}}$
saya melihat pola-pola berikut:
1) 44444…44444=4(111111..1111) dan
2) 88888…88888=8(111111..1111)
dari pola itu, munculah beberapa hal dalam pikiran saya:

apa istimewanya bilangan satu yang berulang ini?, kenapa dia muncul sebanyak dua kali?. ah..mungkin disini cluenya. sehingga saya memisalkannya sebagai suatu variabel $P$
saya selidiki bilangan yang lebih sederhana, misal:

$44448888 = 44440000+8888$ , atau $4(1111)x10^4+8(1111)$
Nah..kita dapet suatu pencerahan .

kita olah yuk?
$\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\frac{88888...8889}{2000 buah}}$
$\sqrt{\frac{44444...444}{2000 buah}\frac{8888...888}{2000 buah}+1}$
$\sqrt{4(1111...111)x10^{2000})+8(1111...111)+1}$
kita misalkan $\frac{1111...111}{2000 buah}= P$ , sehingga:
$\sqrt{4P.10^{2000}+8P+1}$
udah lebih sederhana, tapi masih mandeg dengan bilangan $10^{2000}$
Kembali saya cermati lagi bilangan yang lebih kecil untuk cari ide, misal:
$100=99+1$ atau $,10^2=99+1$
$1000=999+1$ atau $,10^3=999+1$
.
.
.
$10^n=\frac{999..999}{sebanyak n}+1$
lega dengan hal itu, kemudian saya perhatikan lagi pola, dan ternyata bisa diubah:
$10^n=9(\frac{111..111}{sebanyak n})+1$ , yang tidak lain adalah:
$10^n=9P+1$
akhirnya…
$\sqrt{4P.10^{2000}+8P+1}$
$\sqrt{4P.(9P+1)+8P+1}$
$\sqrt{36P^2+4P+8P+1}$
$\sqrt{36P^2+12P+1}$
$\sqrt{(6P+1)^2}$
$|6P+1|$ , karena P >0, maka tanda mutlak bisa hilang
$6(1111...111)+1= 66666...6667$
saya harap semua bisa mengikuti.
Cara Lain ? :
Saya sudah mengerjakan dengan dua cara, di blognya Hendry ada dua cara lain lagi:

pengenalan sifat bilangan berpola ketika ditarik akar (oleh Hendry), cara ini sangat menarik, karena bisa menjadi contoh bagaimana sih cikal bakal pengembangan teori bilangan (ilmu tentang Bilangan) ?, cara ini telah memberikan ruang asumsi awal untuk berpijak, yang kemudian ditindak lanjuti dengan suatu proses penyelidikan dan pembuktian yang sesuai.
manipulasi bentuk alabar lagi (Oleh Medaliemas): cara ini juga menarik, karena menunjukan kemampuan dalam manipulasi bentuk aljabar.

Ingatlah : ” Banyak jalan menuju Roma !!

“
Masih mau lagi?
Contoh 2:
Hitunglah $\sqrt {1 + (100).(101).(102).(103)}$
Jawab:
Menghadapi soal macam gini, beberapa gagasan muncul :

Karena muncul dalam soal kompetisi, pasti hasil akhirnya harus sederhana
Hampir dipastikan bahwa kita bisa mengubah bentuknya dengan pengetahuan aljabar
Bilangan dalam tanda akar tersebut merupakan bilangan kuadrat supaya bisa keluar dari tanda akar (meskipun tidak menjamin selalu begitu).

Strategi:
Untuk itu saya mencoba mengutak-atik bentuknya supaya memunculkan bentuk kuadrat.
Bilangan dimisalkan dengan simbol sehingga bisa menampilkan hubungan/polanya.
Pengerjaan:
$\sqrt {1 + (100).(101).(102).(103)}$
Saya misalkan x = 100, sehingga:
= $\sqrt {1 + (x).(x+1).(x+2).(x+3)}$
= $\sqrt {1 + (x).(x+3).(x+1).(x+2)}$
= $\sqrt {1 + (x^2+3x).( x^2+3x+2)}$
Disini, saya sedikit mandek .
Untuk cari ide, saya kembali lihat apakah ada pola yang muncul?, ternyata saya melihat bentuk $x^2+3x$ , yang muncul dua kali. Kali aja disini kuncinya, lalu saya misalkan saja sebagai $y= x^2+3x$ , sehingga:
= $\sqrt {1 + y(y+2)}$
= $\sqrt { y^2+2y+1}$ …..akhirnya muncul juga dech bentuk kuadrat

= $\sqrt { (y+1)^2}$
= $|y+1|$
Tinggal ganti nilai y nya.
= $|( x^2+3x)+1|$
Lalu ganti x kembali dengan 100
= $| 100^2+3(100)+1|$
= $10301$
Q.E.D
Cukup ya?, sekarang mari kita berlatih:
Tentukanlah nilai dari:

$\sqrt{\frac{11111...1111}{2004 buah}-\frac{22222...2222}{2002 buah}}$
$\sqrt{(\frac{11111...1111}{2002 buah}).(\frac{1000...005}{2003 buah})+1}$
$\sqrt{\frac{111....11}{2002 buah}\frac{2222...225}{2004 buah}}$

hints: masing-masing soal di atas punya keunikan tersendiri.
Catatan:
Untuk menghitung akar suatu bilangan yang acak, apalagi irasional. tentu saja teknik di atas tidak bisa diterapkan. penyelelidikan mengenai hal itu masih terus dilakukan
NB:
ayo bagi yang udah, jangan ragu untuk posting jawbannya ya !,
Dengan menjawab, anda telah membantu banyak orang untuk ikut belajar. Terutama bagi siswa-siswa yang ikut Tim olimpiade di sekolahnya.

Einstein Cilik

Masukkan Kode Menu Di Sini

Minggu, 10 Juli 2011

cara menghitung akar tanpa kalkulator

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Cari Blog Ini

Pengikut