Masukkan Kode Menu Di Sini

SELAMAT MEMBACA ! SELAMAT MEMBACA ! SELAMAT MEMBACA ! SELAMAT MEMBACA ! SELAMAT MEMBACA !

Minggu, 10 Juli 2011

pembahasan soal olimpiade matematika

Dalam kurikulum SMA, termuat pokok bahasan mengenai sistem persamaan, yang terdiri dari : linier, kuadrat, dan gabungan antara keduanya.
Sebagian besar siswa sudah piawai dalam mengerjakan tipe-tipe soal tersebut, malah ada yang mengatakan “jenuh” karena bentuk soalnya begitu-gitu aja. Tinggal substitusi atau eliminasi, beres.
Nah sekarang saya akan posting variasi dan pembahasan soal sistem persamaan, yang kerap kali muncul dalam olimpiade matematika SMA.
Penting disadari:
Sebelum mengerjakan soal-soal, sangat membantu jika tertanam dalam pikiran anda bahwa:
soal kompetisi SMA adalah soal-soal transisi, dalam artian, konsep yang dipergunakan kebanyakan sudah dipelajari di kelas, hanya saja bentuk awalnya dikemas menjadi lebih elegan, itu saja. So, pemahaman yang baik mengenai konsep dasar akan sangat banyak membantu. (meskipun memang sebagian kecil tidak dibahas/berupa perluasan materi)
Contoh 1: Soal Provinsi (2004)
Tentukan semua (x,y,z) dengan x,y,z bilangan-bilangan riil, yang memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut:
x^2+4 = y^3 + 4x-z^3
y^2+4 = z^3 + 4y-x^3
z^2+4 = x^3 + 4z-y^3
Jawab:
Sekilas, siswa mungkin kaget, karena soal ini memuat 3 variabel, dan pangkat tiga lagi. sedangkan di kelas hanya dipelajari sampai pangkat dua.
Strategi:
Ingat ya, hanya bentuk awal yang diperumit. Siswa yang belum pengalaman, cenderung akan mencobakan teknik eliminasi dengan memilih dua persamaan. Namun soal-soal tipe gini biasanya akan lebih sederhana jika semua persamaan di tambahkan serentak terlebih dahulu. Mari kita coba.
x^2+4 = y^3 + 4x-z^3
y^2+4 = z^3 + 4y-x^3
z^2+4 = x^3 + 4z-y^3
—————————————–(+)
x^2 + y^2+z^2+4+4+4 = 4x+4y+4z
(x^2 -4x + 4)+ (y^2 -4x + 4)+(z^2 -4x + 4)= 0
Tuhkan lebih sederhana, ayo kita lanjutin:
(x^2 -4x + 4)+ (y^2 -4x + 4)+(z^2 -4x + 4)= 0
(x-2)^2+ (y-2)^2+(z-2)^2= 0
Analisis:
karena semua bentuk kuadrat gak mungkin negatif, sehingga yang memungkinkan hanyalah (x-2)^2=0\,\, , (y-2)^2=0\,\,, dan \,\,(z-2)^2= 0
Sehingga : (x,y,z) yang mungkin adalah (2,2,2)
Gimana, gampangkan?
Contoh 2: oke kali ini, hanya memuat pangkat satu
Jika diketahui sistem persamaan berikut:
a + b + c + d = 0 ……………..(1)
a + c + d + e = 5 ……………..(2)
a + b + d + e = 1 ……………..(3)
a + b + c + e = 2 ……………..(4)
b + c + d + e = 4 ……………..(5)
Berapakah nilai dari : a^5+b^4+c^3+d^2+e ?
Jawab:
Nah lho, emangsih pangkat 1, tapi lima persamaan bo !. tenang, kita jumlahkan saja dulu, kali aja ada clue :
Setelah dijumlahkan, ternyata menghasilkan :
4(a + b + c + d +e) = 12
karena a + b + c + d = 0 , maka:
4(0+e) = 12
e = 3
Nah mulai deh ada jalan, gampangkan?, masih ada 4 yang harus kita cari.
Dari : a + c + d + e = 5 …..(2)
Karena yang diketahui hanya a+b+c+d=0 , maka soal bisa kita ubah, supaya memunculkan bentuk tersebut, menjadi :
(a+b+c+d)-b+e = 5
(0-b)+ e = 5
-b+(3)=5 …….ingat kita sudah mendapatkan e= 3
b = -2
Dengan memperlakukan cara yang sama pada persamaan (3), (4), (5), hasil akhir kita peroleh : a = -1, b = -2, c = 2, d = 1, e = 3. tinggal masukan ke pertanyaan:
\,\,a^5+b^4+c^3+d^2+e
=(-1)^5+(-2)^4+(2)^3+(1)^2+(3)
=-1+16+8+1+3 = 27
Catatan:
Tidak semua soal sistem persamaan harus dijumlahkan pada langkah awal (sebagian malah akan nambah rumit). Itu hanya salah satu cara dan bersifat relatif. Namun, pembuat soal biasanya menyembunyikan teka-teki /trik soal, dan disitulah letak menariknya.
Sekarang kita tinjau sebuah soal yang muncul di tingkat internasional
Contoh 3: IMO ke-21 tahun 1979, bertempat di United Kingdom.
Carilah semua bilangan riil a, dimana ada bilangan-bilangan riil non negatif x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 yang memenuhi:
\sum\limits_{k = 1}^5 {kx_k }  = a\,\,,\sum\limits_{k = 1}^5 {k^3 x_k }  = a^2 \,,\sum\limits_{k = 1}^5 {k^5 x_k }  = a^3
Jawab:
Nah lho, apalagi ni?. Tenang itu hanya penyingkatan penjumlahan bilangan saja, namanya juga tingkat internasional, wajar jika diperseram. Setelah kita masukan k=1 s/d k=5, kita mendapatkan bentuk sistem persamaan biasa:
x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = a ,
x_1 + 2^3x_2 + 3^3x_3 + 4^3x_4 + 5^3x_5 = a^2 ,
x_1 + 2^5x_2 + 3^5x_3 + 4^5x_4 + 5^5x_5 = a^3 ,
Nah, mulai rada-rada lega dengan bentuk di atas ?, ayo kita lanjutkan.
Dari try and error (coba-coba), saya mencurigai bahwa jika semua dijumlahkan dan mengakibatkan ruas kanan menjadi nol, soal akan menjadi lebih mudah. Mari kita coba:
Berarti pers (1) x a^2 , Pers (2) x -2a dan pers(3) dibiarkan tetap. Kemudian dijumlahkan.
\,\,\,a^2x_1 + ,2 a^2x_2 + ,3 a^2x_3 +, 4 a^2x_4 +, 5 a^2x_5 =, a^3
-2ax_1 -2.2^3ax_2 - 2.3^3ax_3 -2.4^3ax_4+2.5^3ax_5 =-2a^3
x_1 + 2^5x_2 + 3^5x_3 + 4^5x_4 + 5^5x_5 = a^3
———————————————————————(+)
x_1(a^2-2a+1)+2x_2(a^2-2.2^2+2^4)+3x_3(a^2-2.3^2+3^4)+4x_4(a^2-2.4^2+4^4)+ 5x_5(a^2-2.5^2+5^4) = 0
Setelah disederhanakan, menjadi:
(a-1)^2 x_1+2 (a-2^2)^2 x_2+3 (a-3^2)^2 x_3+4 (a-4^2)^2 x_4+ 5 (a-5^2)^2 x_5 = 0
Lihat, disini pola sudah terlihat dengan jelas:
  • koefisien dari x_1 adalah (a-1)^2,
  • koefisien dari x_2 adalah 2(a-2^2)^2,
  • dan begitu seterusnya, sehingga secara umum bisa kita tuliskan:
  • untuk suku yang memuat x_n  , koefisiennya n(a-n^2)^2
Karena diketahui x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 adalah bilangan non negatif ( bisa = 0 atau positif), dan semua koefisien dikuadratkan (selalu 0 atau positif). Maka solusi yang mungkin adalah semua suku masing-masing bernilai 0 (terlihat dari: ketika semua dijumlahkan mengakibatkan ruas kanan sama dengan nol).
Sehingga kondisi yang memungkinkan : x_n = 0 atau koefisiennya = 0 (a=n^2 ).
Karena yang ditanyakan adalah nilai-nilai a yang mungkin, maka HP={1,4,9,16,25}
Ayo berlatih dan bersenang-senang :
Berikut variasi lain, silahkan dekati dengan strategi yang sesuai.
Soal 1:
Diketahui sistem persamaan berikut:
x + y = 4
y + z = 3
x + z = 3
Berapakah nilai dari x . y . z ?
Soal 2:
9x + 15 y = 1038 \frac{x}{y}
3x + 6 y = 519 \frac{x}{y}
Berapakah \frac{x}{y} ?
Soal 3: Soal Provinsi (2005)
Diketahui x, y, z bilangan riil yang memenuhi:
x^2+2yz = x ……(1)
y^2+2zx = y ……(2)
z^2+2xy = z ……(3)
Tentukanlah nilai x, y, z yang memenuhi.
Soal 4:
Diketahui, x,y,z,t adalah bilangan riil yang tak nol, dan sekaligus memenuhi :
x + y + z = t ………..(1)
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{t} ………..(2)
x^3 + y^3 + z^3 = {1000}^3 ………..(3)
Tentukan nilai dari x + y + z + t
Bagi yang dah bisa, jangan ragu untuk menjawab ya, mudah-mudahan kita bisa mendapatkan beberapa cara/alternatif pendekatan untuk sama-sama dipelajari oleh siapa pun yang ikut menyimak blog ini.
Monggo…

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Cari Blog Ini

Pengikut